Урок 3. Выражения
Числа – неотъемлемая часть нашей жизни. Каждый день мы сталкиваемся с ними. Открывая глаза утром, мы видим перед собой числа, обозначающие время. Мы измеряем числами всё вокруг себя – расстояние, вес, сумму денег, рост. Например, от дома до магазина расстояние пятьдесят метров. На день рождение маме мы принесём букет из одиннадцати роз.
Когда-то давно наши предки пользовались примитивными способами подсчёта. Не было привычной нам последовательности 1, 2, 3, 4… Вместо них были обычные палочки I, II, III, IIII… Но общество развивалось, исследовало окружающий мир и старая система стала неудобной. Пришлось придумывать более сложный вариант.
Сейчас весь мир пользуется универсальным числовым рядом: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти числа являются основой для построения более сложных чисел. Двухзначных, трёхзначных, четырёхзначных и так далее. Также числа используются в математических формулах и уравнениях. Сложно найти область науки, где не использовались бы числа от 0 до 9. Химия, физика, астрономия, биология – все эти науки не могут обойтись без подсчёта.
Слово число появилось ещё во времена древних славян. Оно означало “счёт, величина, количество“. Это слово начали употреблять примерно в IX веке. А привычный нам ряд от нуля до девяти придумали индийцы во второй половине XV века. Арабы, которые путешествовали тогда по всей Европе и Азии разнесли числовой ряд по всему миру. Именно поэтому их называют арабскими цифрами.
Чем отличается цифра от числа?
Число – это единица счëта, которая выражает количество (один тюльпан, два тюльпана, три тюльпана). А цифра – это знак или символ, который обозначает значение числа. Цифры – это как буквы для слов. Для записи чисел используют цифры от 0 до 9.
На этом вводный урок по числам закончен.
- Урок 1. Числа
- Урок 2. Основные операции
- Урок 3. Выражения
- Урок 4. Замены в выражениях
- Урок 5. Разряды для начинающих
- Урок 6. Умножение
- Урок 7. Деление
- Урок 8.Порядок действий
- Урок 9. Законы математики
- Урок 10. Делители и кратные
- Урок 11. НОД и НОК
- Урок 12. Дроби
- Урок 13. Действия с дробями
- Урок 14. Смешанные числа
- Урок 15. Сравнение дробей
- Урок 16. Единицы измерения
- Урок 17. Применение дробей
- Урок 18. Десятичные дроби
- Урок 19. Действия с десятичными дробями
- Урок 20. Применение десятичных дробей
- Урок 21. Округление чисел
- Урок 22. Периодические дроби
- Урок 23. Перевод единиц
- Урок 24. Соотношения
- Урок 25. Пропорция
- Урок 25. Пропорция
- Урок 26. Расстояние, скорость, время
- Урок 27. Прямая и обратная пропорциональность
- Урок 28. Проценты
- Урок 29. Отрицательные числа
- Урок 30. Модуль числа
- Урок 31. Что такое множество?
- Урок 32. Сложение и вычитание целых чисел
- Урок 33. Умножение и деление целых чисел
- Урок 34. Рациональные числа
- Урок 35. Сравнение рациональных чисел
- Урок 36. Сложение и вычитание рациональных чисел
- Урок 37. Умножение и деление рациональных чисел
- Урок 38. Дополнительные сведения о дробях
- Урок 39. Буквенные выражения
- Урок 40. Вынесение общего множителя за скобки
- Урок 41. Раскрытие скобок
- Урок 42. Простейшие задачи по математике
- Урок 43. Задачи на дроби
- Урок 44. Задачи на проценты
- Урок 45. Задачи на движение
- Урок 46. Производительность
- Урок 47.Элементы статистики
- Урок 48. Общие сведения об уравнениях
- Урок 49. Решение задач с помощью уравнений
- Урок 50. Решение задач с помощью пропорции
- Урок 51. Системы линейных уравнений
- Урок 52. Общие сведения о неравенствах
- Урок 53. Системы линейных неравенств с одной переменной
- Урок 54. Операции над множествами
- Урок 55. Степень с натуральным показателем
- Урок 56. Степень с целым показателем
- Урок 57. Периметр, площадь и объём
- Урок 57. Периметр, площадь и объём
- Урок 58. Одночлены
- Урок 59. Многочлены
- Урок 59. Многочлены
- Урок 60. Формулы сокращённого умножения
- Урок 61. Разложение многочлена на множители
- Урок 62. Деление многочленов
- Урок 63. Тождественные преобразования многочленов
- Урок 64. Квадратный корень
- Урок 65. Алгоритм извлечения квадратного корня
- Урок 66. Квадратное уравнение
- Урок 67. Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
- Урок 68. Теорема Виета
- Урок 69. Разложение квадратного трёхчлена на множители
- Урок 70. Обобщённое понятие модуля числа
- Урок 71. Уравнение с модулем
- Урок 72. Решение уравнений с модулем методом интервалов
- Урок 73. Неравенства с модулем
- Урок 74. Решение неравенств с модулем методом интервалов
- Урок 75. Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения
На этом уроке мы рассмотрим одно из самых часто встречаемых понятий в математике – выражения. Они встречаются буквально на каждом шагу. Выражения бывают простыми, например: 2 + 3 – 1.
И сложными: (172 + 748) – (748 : 4) + (192 + 187).
Выражения делятся на две группы: буквенные и числовые.
Начнём с уже знакомых нам числовых выражений. В них присутствуют математические операции, которые мы изучали на предыдущем уроке: +, –, =, и так далее. Также числовое выражение не может обойтись без чисел. К примеру:
15 × 3 + 7
6 : 2 – 1
23 – 10 + 2
Вторая группа выражений – буквенные. Кроме чисел и знаков операций, в буквенных выражениях присутствуют латинские символы, или проще говоря, буквы:
3x + 2 – a
b + 12 : 4
a + b – 14
Математика – точная наука. Каждая деталь имеет своё название и определение. Буквы из примера выше – a, b, x – называются переменные. Изучая математику самостоятельно, можно запутаться в огромном количестве терминов. Потому что профессионалы и авторы пользуются устоявшейся терминологией, которую знают те, кто изучил хотя бы основы. Поэтому особенно важно на первых этапах запомнить самые главные и часто встречающиеся понятия. Переменные вы будете видеть на каждом шагу. Они встречаются как в простейших выражениях, типа тех, что мы привели в пример, так и в сложнейших формулах. И везде они будут называться одинаково. Если вы обратитесь к профильной литературе и найдёте учебники по математике, зная эти определения и названия, вы никогда не запутаетесь и будете знать, о чём речь.
Использовать буквы для обозначения неизвестных величин в выражениях придумал в XVI веке Рене Декарт, один из “отцов” математики. Он же ввёл понятие “переменные”, которым пользуются до сих пор. Само название подразумевает под собой нечто непостоянное. Если попробовать подобрать синонимы к слову переменная, получится что-то вроде “изменчивая, меняющаяся”. Это некое условное значение, которое может меняться в зависимости от условий. В математике переменная всегда обозначается буквой. Например:
x – 7
Данное выражение относится к группе буквенных, так как в нём присутствует переменная x. Она может принять любое значение. В зависимости от условий, переменная будет менять свою величину. Вы можете изменить значение переменной в любой момент времени. Допустим, x в нашем выражении будет равен числу 10. Чтобы правильно это записать, мы воспользуемся знаком математических операций:
x = 10
Что нам это даст? Возьмём изначальное выражение x – 7. Если x равен числу 10, мы можем поставить 10 вместо x в нашем буквенном выражении. Выглядеть это будет вот так:
Переменная служит условным обозначением какой-либо величины. Чаще всего переменные используются для доказательства теорем, написания формул. Как только значение переменной определяется, у неё появляется значение, с помощью которого можно найти результат выражения.
На предыдущем уроке мы разбирали математические операции на разных примерах. Вспомним, как выглядит одна из них, используя для этого не числа, а переменные. Например, сумма – это результат сложения каких-то величин. Если бы мы решили записать сумму в буквенном выражении, это выглядело бы вот так:
x + y = z
Где x и y – слагаемые, а z – сумма. Поскольку переменные – это любые числа, мы можем представить вместо них любые значения. Сумма будет меняться автоматически в зависимости от значений x и y.
Давайте попрактикуемся. У нас есть исходное буквенное выражение: x + y = z. Нужно узнать значение z, если x = 5, а y = 3. У нас есть значения x и y, а значит узнать и сумму не составит труда.
5 + 3 = z
Следовательно, 5 + 3 = 8
Значит, z = 8
Как правильно записать ответ? Когда вы имеете дело с буквенными выражениями, где указывается точное значение переменной, необходимо обязательно упомянуть в ответе, что z равен числу 8, только при условии, что x = 5, а y = 3. Потому что, если поставить вместо x и y другие значения, z тоже поменяется.
Поэтому ответ записывается таким образом:
При x = 5 и y = 3, z = 8.
Значение выражения
Продолжим изучать терминологию. В учебниках по математике вы можете столкнуться с подобными словосочетаниями: “выполнить действие”. И далее вам будут предложены выражения. Что это значит? Это значит, что перед нами какая-то операция действия, которую нужно решить. Сумма, разность, умножение, деление, и тому подобное.
Однако, чаще вы будете сталкиваться со словосочетанием: “найти значение выражения”. Иными словами, решить пример. В принципе, эти понятия означают одно и тоже. Но в математике принято выражаться правильно, поэтому мы будем использовать первый вариант.
Рассмотрим на простом примере. Вы открываете учебник и видите там:
Найдите значение выражения.
Дано: 15 – 11
Перед нами простейшее числовое выражение. Для того, чтобы правильно решить этот пример, или найти значение выражения, нам нужно из уменьшаемого (15) вычесть вычитаемое (11), поставить знак равно (=) и получить разность.
Выглядеть это будет так:
15 – 11 = 4
Поздравляем! Мы нашли значение выражения 15 – 11. В данном случае это число 4.
